Vẽ $AH⊥BC (H∈BC); AF⊥AC ( F∈AC)$ (xem hình)

Từ các dữ kiện đề bài $AB=BE=1,\widehat{ABE}=60^o$

$⇒ ΔABE$ đều $AH\bot BE⇒AH$ là đường cao cũng là đường trung tuyến nên

$BH=\dfrac{BE}2=\dfrac12$

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào $\Delta AHB\bot H: $

$AH² = AB² - BH² = AB² - (\dfrac{BE}{2})² = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ (1) 

$\widehat{ACB} = 180^{0} - \widehat{BAC} - \widehat{ABC}$

$= 180^{0} - 105^{0} - 60^{0} = 15^{0}$

$ \widehat{BAF} = \widehat{BAC} - \widehat{FAC} $

$= 105^{0} - 90^{0} = 15^{0}$

$ ⇒ \widehat{ACB} = \widehat{BAF}$

chung góc $B$

$⇒ ΔABC \sim ΔFBA$ (g.g)

$ ⇒ \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BE}{BC} = \dfrac{AD}{AC}$ (do DE//AB)

$⇒ AF = AD$ (2)

$ΔAFC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ nên có hệ thức lượng:

$\dfrac{1}{AC²} + \dfrac{1}{AF²} = \dfrac{1}{AH²}$

Từ (1) và (2) $⇔ \dfrac{1}{AC²} + \dfrac{1}{AD²} = \dfrac{4}{3} (đpcm)$