Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp MN$

$\to \widehat{KMB}=\widehat{KCB}=90^o,\widehat{AMB}=\widehat{ACD}=90^o$

$\to BMKC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BK$ và $ACMD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$

b.Vì $ACMD$ nội tiếp 

$\to\widehat{BMC}=\widehat{BAD},\widehat{BCM}=\widehat{BDA}$

$\to \Delta MBC\sim\Delta ABD(g.g)$

c.Gọi $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DAB, \Delta KAD$ lần lượt là $F,E$

Vì $O$ là trung điểm $AB\to FO\perp AB$

$\to F$ di chuyển trên đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $O$ cố định

Gọi $(E)\cap AB=H, H$ khác $A$

Xét $\Delta CKA,\Delta CDB$ có:

$\widehat{KCA}=\widehat{DCB}(=90^o)$

$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}=\widehat{MDC}=\widehat{BDC}$

$\to\Delta CKA\sim\Delta CBD(g.g)$

$\to\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{CA}{CD}$

$\to CK\cdot CD=CA\cdot CB$

Vì $DKAH$ nội tiếp $(E)$

$\to\widehat{CAK}=\widehat{CDH},\widehat{CKA}=\widehat{CHD}$

$\to\Delta CAK\sim\Delta CDH(g.g)$

$\to\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CK}{CH}$

$\to CH=\dfrac{CK\cdot CD}{CA}=\dfrac{CA\cdot CB}{CA}=CB$ không đổi vì $C$ không đổi

$\to H$ cố định

$\to E$ di chuyển trên trung trực $AH$ cố định khi $K$ thay đổi