Dựng tam giác cân $ABC$ có $\widehat{A} = 36^o$ với độ dài cạnh $BC = 1$

$\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = 72^o$

Từ $C$ kẻ đường phân giác $CD \, (D\in AB)$

$\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{BAC} = 36^o$

$\Rightarrow AD = DC$

Ta lại có: $\widehat{B} = \widehat{BDC} = 72^o$

$\Rightarrow DC = BC$

Do đó $AD = DC = BC = 1$

Từ $D$ kẻ đường cao $DH$ ứng với cạnh $AC \, (H\in AC)$

$\Rightarrow AH = HC$

Đặt $AH = HC = x \, (x > 0)$

Ta được:

$cos\widehat{A} = \dfrac{AH}{AD} = x$

$\Rightarrow BD = AB - AD = AC - AD = 2x - 1$

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:

$\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AC}{BC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2x - 1} = \dfrac{2x}{1}$

$\Leftrightarrow 4x^2 - 2x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}\\x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{4} < 0 \,\, \, (loại)\end{array}\right.$

Vậy $cos36^o = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$