a) Xét \(\bigtriangleup ABC\) có:

\(\left.\begin{matrix} AN = NB (gt) & & \\ AM = MC (gt) & & \end{matrix}\right\}\)

=> NM là đường trung bình của \(\bigtriangleup ABC\)

=> NM // BC

=> Tứ giác BCMN là ht (1)

Ta có: \(AN = \frac{1}{2}AB , AM = \frac{1}{2}AC\)

Mà : AB = AC (gt)

Nên AN = AM

=> \(\bigtriangleup AMN\) cân tại A

=> \(\widehat{ANM} = \widehat{AMN}\)

Ta lại có:

\(\widehat{ANM} + \widehat{MNB} = 180 (kb)\)

\(\widehat{AMN} + \widehat{NMC} = 180 (kb)\)

Mà : \(\widehat{ANM} = \widehat{AMN} (cmt)\)

Nên: \(\widehat{MNB} = \widehat{NMC} (2)\)

Từ (1) và (2) => Tứ giác BCMN là htc

b) Xét \(\bigtriangleup ENB\) và \(\bigtriangleup MNA\)

Ta có: \(\left.\begin{matrix} EN = NM (gt) & & & \\ \widehat{ENB} = \widehat{MNA}(đđ) & & & \\ NB = AM (NB = \frac{1}{2}AB, AM = \frac{1}{2}AC, AB = AC) & & & \end{matrix}\right\}\)

=> \(\bigtriangleup ENB = \bigtriangleup MNA (c.g.c)\)

=> \(\widehat{B_{1}} = \widehat{A}\)

Ta chứng minh được: IM là đường trung bình của \(\bigtriangleup ABC\)

=> IM = \(\frac{1}{2}\)AB = NB

Mà: NM = IF

Nên: IM = IF

Xét \(\bigtriangleup BIF\) và \(\bigtriangleup CIM\)

Ta có: \(\left.\begin{matrix} BI = IC (gt) & & & \\ \widehat{BIF} = \widehat{CIF} (đđ) & & & \\ IF = IM (cmt) & & & \end{matrix}\right\}\)

=> \(\bigtriangleup BIF = \bigtriangleup CIM (c.g.c)\)

=> \(\widehat{B_{3}} = \widehat{C}\)

Mặt khác: \(\widehat{A} + \widehat{B_{2}} + \widehat{C} = 180^{\circ}\) (tổng ba góc trong tam giác)

Hay: \(\widehat{B_{1}} + \widehat{B_{2}} + \widehat{B_{3}} = 180^{\circ}\)

=> Ba điểm E,B,F thẳng hàng (3)

Xét \(\bigtriangleup FEM\), có:

\(\left.\begin{matrix} FI = IM (cmt) & & \\ BI // EM(BI \epsilon BC, EM\epsilon NM, BC // NM ) & & \end{matrix}\right\}\)

=> FB = BE (4)

Từ (3) và (4) => B là trung điểm của FE