Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{c|c} &\Delta ABC \text{ vuông tại A}\\&AH \perp BC; \text{trung tuyến AM}(BM=CM)\\GT&DM=MA;CI=CA; IE,IF// AC\\ & IE ∩AH=\{E\}; IF ∩ AB=\{F\} \\ \hline & a) DC // AB\\KL& \Delta CAI=\Delta FIA\\& c) \widehat{AFE}=?\\&d) AE=BC\end{array}$

C/m:

a) Xét `ΔABM` và `ΔDCM` có:

          `MA = DM(g t)`

          `\hat{AMB}=\hat{DMC}` (2 góc đối đỉnh)

          `BM = CM(g t)`

`=> ΔABM = ΔDCM (c.g.c)`

`=> \hat{ABM}=\hat{DCM}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$⇒ DC//AB$

b) $DC//AB(gt)$ `=> \hat{CIA}=\hat{FAI}` (2 góc tương ứng)

$AC//IF(gt)$ `=> \hat{CAI}=\hat{FIA}` (2 góc tương ứng)

Xét `ΔCAI` và `ΔFIA` có:

       `\hat{CIA}=\hat{FAI}(cmt)`

        `AI:chung`

        `\hat{CAI}=\hat{FIA}(cmt)`

`⇒ ΔCAI = ΔFIA (g.c.g)`

c) $AC//IF(gt)$ `=> \hat{BAC}=\hat{AFI}` (2 góc đồng vị)

mà `\hat{BAC}=90^o -> \hat{AFI}=90^o`

`-> \hat{AFE}=90^o` (kề bù với \hat{AFI}`)

Vậy `\hat{AFE}=90^o`

d) Sửa đề: C/m: `AE = BC`

`ΔCAI = ΔFIA(cmt)`

`=> CI = AF` (2 cạnh tương ứng)

mà `CI = CA (g t) -> CA = AF`

Có: `\hat{EAF}=\hat{BAH}` (2 góc đối đỉnh)

mà `\hat{BAH}=\hat{BCA}` (cùng phụ với `\hat{HAC}`)

`=> \hat{EAF}=\hat{BCA}`

Xét `ΔAEF` và `ΔCBA` có:

      `\hat{AFE}=\hat{CAB}=90^o`

       `AF = CA(cmt)`

       `\hat{EAF}=\hat{BCA}(cmt)`

`=> ΔAEF = ΔCBA(g.c.g)`

`=> AE = BC` (2 cạnh tương ứng)

Đáp án:

 Các câu khác bạn tự giải nó khá dễ còn mình chỉ làm câu d vì nó là dạng nâng cao nên sẽ khó cho bạn cảm ơn.

Giải thích các bước giải:

D,Tam giác ABC vuông tại A có:
AM là trung tuyến
=> AM = BC/2
Ta có:
          MB = MC = BC/2 (M là trung điểm của BC)
          MA = MD (gt)
=> MA = MB = MC = MD
=> tam giác MAB cân tại M ; tam giác MCD cân tại M
=> góc B = (180 độ − AMB) : 2 ; góc C = (180độ − CMD):2
Mà góc AMB = CMD (đối đỉnh)
=> góc B = góc C1 
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> CD // AB mà AB vuông góc với AC
=> CD vuông góc với AC
    mà IE // AC
=> ID vuông góc với IE
=> góc EID = 90o
Mà tam giác ACI vuông cân tại C (do CI = CA; góc ACI = 90o)
=> góc CIA = 45o
=> góc AIE = góc EID ‐ CIA = 90o ‐ 45o = 45o
+? Vì AC // EI
=> góc CAE + AEI = 180o (2 góc trong cùng phía)
hay góc CAI + IAE + AEI = 180o  
=> 45o + IAE + AEI = 180o   (1)
+) Tương tự, ID // AB
=> góc CIA + IAB = 180o (2 góc trong cùng phía)
hay góc CIA + IAD + DAB = 180o 
=>  45o + IAD + DAB = 180o    (2)
+) Vì AC // EI
=> góc AEI = A1 (2 góc đồng vị)
Mà góc A1 + C2 = 90o (do tam giác AHC vuông tại H)
góc B + C2 = 90o (do tam giác ABC vuông tại A)
=> góc A1 = B
=> góc AEI = góc B
mà góc B = DAB (do tam giác MAB cân tại M)
=> góc AEI = góc DAB (3)
Từ (1)(2) và (3)
=> góc EAI = IAD 
Lại có cạnh chung AI; góc AIE = AID (cùng = 45o)
=> tam giác DAI = EAI (g.c.g)
 => AD = AE
mà AD = BC (vì cùng bằng 2 lần MA)
=> AE = BC