Đặt $\dfrac{a-b}{c}=x;\dfrac{b-c}{a}=y;\dfrac{c-a}{b}=z$
Khi đó biểu thức có dạng:

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$

$=1+\dfrac{y+z}{x}+1+\dfrac{x+z}{y}+1+\dfrac{x+y}{z}$

$=3+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}$

Mà $\dfrac{y+z}{x}=\dfrac{\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}}{\dfrac{a-b}{c}}$

$=\dfrac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}.\dfrac{c}{a-b}$

$=\dfrac{(a-b)(-a-b+c)}{ab}.\dfrac{c}{a-b}$

Mà $a+b+c=0⇒a+b=-c⇒-a-b=c⇒-a-b+c=2c$

$=\dfrac{2c^2}{ab}$

$=\dfrac{2c^3}{abc}$

Chứng minh tương tự ta có:$\dfrac{x+z}{y}=\dfrac{2a^3}{abc}$
$\dfrac{x+y}{z}=\dfrac{2b^3}{abc}$

$⇒3+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=3+\dfrac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

Ta có: $a+b+c=0⇒a+b=-c⇒(a+b)^3=-c^3⇒a^3+b^3+c^3=-3ab(a+b)=3abc$ do $a+b=-c$

Nên $3+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=3+\dfrac{2.3abc}{abc}=3+6=9$

Hay ta có đpcm

Quả thực là mình cũng ngại làm mấy bài đã có người làm trước rồi vì người làm trước sẽ bảo mình là copy bài của họ 

Nhưng thôi,bạn đã nhờ thì mình làm vậy...

Chúc bạn học tốt :v