Giải thích các bước giải:

 ĐK: $a,b>0; c\ne 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0\left( 1 \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{bc + ac + ab}}{{abc}} = 0\\
 \Leftrightarrow ab + bc + ac = 0
\end{array}$

Và $\left( 1 \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{{ - 1}}{c} \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{c} > 0\left( {a,b > 0} \right) \Rightarrow c < 0$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}\\
 = a + c + b + c + 2\sqrt {a + c} .\sqrt {b + c} \\
 = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \\
 = a + b + 2c + 2\sqrt {ab + bc + ac + {c^2}} \\
 = a + b + 2c + 2\sqrt {0 + {c^2}} \\
 = a + b + 2c + 2\sqrt {{c^2}} \\
 = a + b + 2c + 2\left| c \right|\\
 = a + b + 2c - 2c\\
 = a + b\\
 \Rightarrow {\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} } \right)^2} = a + b\\
 \Rightarrow \sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c}  = \sqrt {a + b} 
\end{array}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.