`a,` Xét `(O)` có: `MB` là tiếp tuyến, `B` là tiếp điểm

`⇒OB\botMB⇒\hat{MBO}=90^o`

Xét `(O)` có: `CD` là dây không đi qua tâm, `E` là trung điểm của `CD`

`⇒OE\botCD` (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

`⇒\hat{OEC}=90^o` hay `\hat{OEM}=90^o`

Có `\hat{MBO}=\hat{OEM}=90^o`

`⇒` Hai điểm `B,E` cùng nhìn `OM` dưới một góc vuông

`⇒` Bốn điểm `M,B,O,E` cùng thuộc đường tròn đường kính `OM`

`b,` Xét `(O)` có:

`\hat{MAC}`$=\dfrac{1}{2}\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến `MA` và dây `AC`)

`\hat{ADC}`$=\dfrac{1}{2}\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn cung $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`⇒\hat{MAC}=\hat{ADC}` Hay `\hat{MAC}=\hat{MDA}`

Xét `ΔMAC` và `ΔMDA` có:

`\hat{MAC}=\hat{MDA}` `(cmt)`

`\hat{AMD}`: cạnh chung

`⇒ΔMAC~ΔMDA` `(g.g)`

`⇒(MA)/(MD)=(MC)/(MA)` (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

`⇒MA^2=MC.MD`

`c,` Xét `(O)` có: `MA` là tiếp tuyến, `A` là tiếp điểm

`⇒OA\botMA⇒\hat{MAO}=90^o`

`⇒A` nhìn `MO` dưới một góc vuông

`⇒A` thuộc đường tròn đường kính `MO`

`⇒` Năm điểm `M,A,B,O,E` cùng thuộc đường tròn đường kính `MO`

`⇒\hat{MAB}=\hat{MEB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{MB}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Hay `\hat{MAB}=\hat{CEB}`

Xét `(O)` có:

`\hat{MAB}`$=\dfrac{1}{2}\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến `MA` và dây `AB`)

`\hat{ADB}`$=\dfrac{1}{2}\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn cung $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`⇒\hat{MAB}=\hat{ADB}`

Mà `\hat{MAB}=\hat{CEB}` `(cmt)`

`⇒\hat{ADB}=\hat{CEB}`

Xét `(O)` có:

`\hat{ADB}=\hat{AFB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$) 

Mà `\hat{ADB}=\hat{CEB}` `(cmt)`

`⇒\hat{AFB}=\hat{CEB}`

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị do `FB` cắt `AF` và `CD`

`⇒AF////CD`