Bài 5:

BC² = AB² + AC²

=> BC = 50 cm
=> AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ 

= $\frac{30.40}{50}$  = 24 cm
Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có :

AB² = BH.BC

=> BH= $\frac{AB²}{BC}$ 

= $\frac{30²}{50}$ = 18 cm
MB = MC = $\frac{BC}{2}$  = $\frac{50}{2}$  = 25 cm
HM = BM - BH = 25 - 18 = 7 cm

 Bài 6:

∆ABC cân tai A , AH là đường cao => H cũng là trung điểm của BC 
=> BC = 2HC => BC² = 4HC² => $\frac{1}{BC²}$  = $\frac{1}{4HC²}$ 
kẻ HI ┴ AC , ∆AHC vuông tai H , HI là đường cao 
=> $\frac{1}{AH²}$ ² + $\frac{1}{HC²}$  = $\frac{1}{HI²}$  (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) 
<=> $\frac{1}{4AH²}$  + $\frac{1}{4HC²}$  =$\frac{1}{4HI²}$ 
<=> $\frac{1}{4AH²}$ + $\frac{1}{BC²}$ = $\frac{1}{4HI²}$  (1) 
Mặt khác: HI là đường trung bình của ∆CKB => BK = 2HI 
<=> BK² = 4HI²

<=> $\frac{1}{BK²}$ = $\frac{1}{4HI²}$ (2) 
Từ (1) và (2) =>$\frac{1}{4AH²}$ + $\frac{1}{BC²}$ = $\frac{1}{4HI²}$ =$\frac{1}{BK²}$

Bài 7:

Gỉa sử : AB<AC

Áp dụng đ/l Pytago, ta có:

BC² = AB² + AC²

⇒AB² + AC²=25a²

Áp dụng hệ thức lượng, ta có:

 AB.AC=AH.BC

⇒AB.AC=12a²

⇔AB².AC²=144$a^{4}$ 

Theo hệ thức Vi-ét thì AB² và AC² là nghiệm của phương trình"

$x^{2}$ -25$a^{2}$ +144$a^{2}$ =0

⇔(x-16a²)(x-9a²)=0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x=16a²\\x=9a²\end{array} \right.\) 

Do AB<AC⇒AB²<AC²

⇒$\left \{ {{AB²=9a²} \atop {AC²=16a²}} \right.$ 

⇒\(\left[ \begin{array}{l}AB=3a\\AC=4a\end{array} \right.\)