a) Ta có: $ABCD$ là hình chữ nhật $(gt)$

$\Rightarrow AB=CD=4 \, cm; \, BC = AD=3\, cm$

và $OA = OB = OC = OD$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 =4^2 + 3^2 =25$

$\Rightarrow BD = 5 \, cm$

$\Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{5}{2} \, cm$

b) Xét $ΔAHD$ có:

$AM = MH \, (gt)$

$DN = NH \, (gt)$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN//AD; \, MN = \dfrac{1}{2}AD$

Ta lại có: $BI = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD$

$\Rightarrow MN = BI$

c) Ta có:

$MN//AD$ (chứng minh ở câu b)

$AD//BC$

$\Rightarrow MN//BC$

hay $MN//BI$

mà $MN=BI$ (câu b)

nên $BMNI$ là hình bình hành

$\Rightarrow BM//IN$

d) Do $MN//AD$

nên áp dụng định lý Thales, ta được:

$\dfrac{HM}{HA} = \dfrac{HN}{HD}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{HM}{HA} = \dfrac{HN}{HD} = \dfrac{HM}{HA - HM} = \dfrac{HN}{HN - HD} = \dfrac{HM}{MA} = \dfrac{HN}{ND}$

$\Rightarrow \dfrac{ND}{MA} = \dfrac{HN}{HM} = \dfrac{HD}{HA}$ $(1)$

Mặt khác: $ΔHAD$ và $ΔHBA$ có:

$\widehat{DHA} = \widehat{BHA} = 90^o$

$\widehat{HAD} = \widehat{HBA}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)

Do đó $ΔHAD\sim ΔHBA \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{HD}{HA} = \dfrac{AD}{AB}$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow \dfrac{HN}{HM} = \dfrac{AD}{AB}$

Xét $ΔNDA$ và $ΔNAB$ có:

$\widehat{NDA} = \widehat{MAB}$ (cùng phụ $\widehat{HAD}$)

$\dfrac{HN}{HM} = \dfrac{AD}{AB} \, (cmt)$

Do đó $ΔNDA\sim ΔNAB \, (g.g)$

$\Rightarrow \widehat{MBA} = \widehat{NAD}$

mà $\widehat{NAD} = \widehat{ANM}$ (so le trong)

nên $\widehat{MBA} = \widehat{ANM}$

Ta có:

$\widehat{ANI} = \widehat{ANM} + \widehat{MNI}$

mà $\begin{cases}\widehat{ANM} = \widehat{MBA} \,\, (cmt)\\\widehat{MNI} = \widehat{MBI} \,\,(\text{BMNI là hình bình hành})\end{cases}$

nên $\widehat{ANI} = \widehat{MBA} + \widehat{MBI} = \widehat{ABI} = 90^o$

Vậy $\widehat{ANI}$ là góc vuông