Bài 6:

1. Xét $∆HAC$ vuông tại $H$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $AC$

$\Rightarrow MH = MA = MC$

Lập luận tương tự với $∆HAB$ ta được:

$NH = NA = NB$

Do đó $NM$ là đường trung trực của $AH$ (định lý 2 về đường trung trực)

2. Xét $∆ABC$ có:

$MA = MC \, (gt)$

$IB = IC \, (gt)$

$\Rightarrow MI$ là đường trung bình

$\Rightarrow MI = \dfrac{1}{2}AB = NH$ $(1)$

Tương tự, ta được: $MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN//BC$

$\Rightarrow MN//HI$

$\Rightarrow HIMN$ là hình thang $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow HIMN$ là hình thang cân

Bài 7:

Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $CD$ tại $E$

$\Rightarrow ME//AB$

$\Rightarrow ME//BD$

mà $BM = MC$

$\Rightarrow DE = DC = \dfrac{1}{2}DC; \, ME = \dfrac{1}{2}BD$

Ta lại có: $BD = 2DA \, (gt)$

$\Rightarrow DA = \dfrac{1}{2}BD$

Do đó $ME = DA$

Áp dụng định lý Thales, ta được:

$\dfrac{ME}{DA} = \dfrac{EI}{ID} = 1$

$\Rightarrow EI = ID$

$\Rightarrow ID = \dfrac{1}{2}DE = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}DC = \dfrac{1}{4}DC$