Bạn xem hình nhá

 

Bài giải sử dụng chung một hình vẽ nên thống nhất gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$ và $M$ là trung điểm $BC$

1) Gọi $N$ là giao điểm của $AH$ và $DE$

Kẻ $DP\perp AH; \, EQ\perp AH \, (P, \, Q \in AH)$

$\Rightarrow DP//EQ$

Xét $ΔPDA$ và $ΔHAB$ có:

$\widehat{DPA} = \widehat{AHB} = 90^o$

$\widehat{HAB} = \widehat{PDA}$ (cùng phụ $\widehat{PAD}$)

$AD = AB \, (gt)$

Do đó $ΔPDA=ΔHAB$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow DP = AH$ $(1)$

Xét $ΔQEA$ và $ΔHAC$ có:

$\widehat{EQA} = \widehat{AHC} = 90^o$

$\widehat{QEA} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{QAE}$)

$AE = AC \, (gt)$

Do đó $ΔQEA=ΔHAC$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow EQ = AH$ $(2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow DP = EQ$

Xét $ΔPDK$ và $ΔQEK$ có:

$\widehat{PDK} = \widehat{QEK}$ (so le trong)

$\widehat{DPK} = \widehat{EQK} = 90^o$

$DP = EA \, (cmt)$

Do đó $ΔPDK=ΔQEK$  (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)$

$\Rightarrow DK = KE$

mà $K = AH\cap DE$ (cách dựng)

nên $K$ là trung điểm $DE$

Vậy $AH$ đi qua trung điểm của $DE$

$\\$

2) Gọi $I$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$

$\Rightarrow \begin{cases}AI = AB = AD\\\widehat{DAI} = \widehat{DAB} = 90^o\end{cases}$

Ta có: $\widehat{DAE} = \widehat{DAI} + \widehat{IAE} = 90^o + \widehat{IAE}$

$\widehat{IAC} = \widehat{IAE} + \widehat{EAC} = 90^o + \widehat{IAE}$

$\Rightarrow \widehat{DAE} = \widehat{IAC}$

Xét $ΔDAE$ và $ΔIAC$ có:

$\widehat{DAE} = \widehat{IAC} \, (cmt)$

$AI = DA$ (cách dựng)

$AE = AC \, (gt)$

Do đó $ΔDAE=ΔIAC \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{DEA} = \widehat{ICA}$ $(3)$

Xét $ΔBIC$ có:

$BA = AI $  (cách dựng)

$BM = MC \, (gt)$

$\Rightarrow AM$ là đường trung bình

$\Rightarrow AM//IC$

$\Rightarrow \widehat{ICA} = \widehat{CAM}$ (so le trong) $(4)$

Từ $(3)(4) \Rightarrow \widehat{DEA} = \widehat{CAM}$

Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $DE$

$\Rightarrow \widehat{KEA} = \widehat{CAM}$

Ta lại có: $\widehat{CAM} + \widehat{KAE} = 180^o - \widehat{EAC} = 180^o - 90^o = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{KEA} + \widehat{KAE} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{AKE} = 90^o$

Vậy $AM\perp DE$