Đáp án:

`S` là số chính phương

Giải thích các bước giải:

`S =1+3+5+7+...+(2n+1)`

Số số hạng `= (2n + 1 - 1)/2 + 1 = n + 1`

`=> S = [(2n + 1 + 1) xx (n + 1)]/2 `

`=> S = [(2n + 2) xx (n + 1)]/2`

`=> S = [2(n + 1) xx (n + 1)]/2`

`=> S = (n + 1)^2`

Vì `n ∈ NN -> S = (n + 1)^2` là số chính phương

Vậy `S` là số chính phương

`S = 1  + 3 + 5 + 7 + .... + (2n+1) (n \in NN)`

Số số hạng của dãy `S` là :

`[ (2n+1) - 1] : 2 + 1 = (2n + 1 - 1) : 2 + 1 = 2n : 2 + 1=  n+1`

Tổng các số hạng của dãy `S` là :

`([ (2n+1) + 1] . (n+1)) : 2 = ((2n + 2) (n+1))/2 = (2 (n+1)(n+1))/2= (n+1)^2`

`=>S= (n+1)^2`

`\foral n \in NN` thì `n+1 \in NN**`

`=> (n+1)^2` là số chính phương 

`=> S` là số chính phương.