a. Vì `M` là trung điểm BC nên:

  `BM=(BC)/2=6/2=3` `(cm)`

Tam giác `ABC` cân tại `A`, lại có `AM` là đường phân giác nên `AM` cũng là đường cao

Do đó tam giác `AMB` vuông tại `M`

Suy ra: `AM^2=AB^2-BM^2` (Định lí Pytago)

`=5^2-3^2=16` `(cm)`

Suy ra `AM=4cm`

`S_{ΔABC}=(AM.BC)/2=(4.6)/2=12` `(cm^2)`

b. `ΔAMC` vuông tại `M` có `MO` là đường trung tuyến nên `OM=OA`

Suy ra $\widehat{OAM}=\widehat{OMA} $ (ΔAMO cân tại O)

Lại có $\widehat{OAM}=\widehat{MAB}$ (AM là tia phân giác $\widehat{BAC}$)

Suy ra $\widehat{OMA}=\widehat{MAB}$

Mà đây là 2 góc ở vị trí so le trong 

Suy ra $OM//AB$

Vậy tứ giác `ABMO` là hình thang.

c. Tứ giác `AMCK` có `OA=OC;OM=OK` nên tứ giác `AMCK` là hình bình hành

Lại có $\widehat{AMC}=90^o$ (chứng minh trên)

Nên tứ giác `AMCK` là hình chữ nhật

Để hình chứ nhật `AMCK` là hình vuông thì:

  `⇔ AM=MC=BM`

  `⇔ AM=(BC)/2`

  `⇔` `ΔABC` vuông cân tại `A`

Đáp án: $a)24cm^2$

             $b)$ Hình thang

             $c)$ $ΔABC$ vuông tại A

 

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nha

a) Xét $ΔABC$ cân tại A có $AM$ là đường phân giác

$⇒AM$ là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến

Do $AM$ là đường trung tuyến $ΔABC$ 

$⇒M$ là trung điểm $BC$

`⇒BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3(cm)`

Do $AM$ là đường cao $ΔABC$

$⇒AM⊥BC$

Xét $ΔABM$ vuông tại M

$⇒AB^2=MA^2+MB^2$ (định lí Pytago)

$⇒5^2=MA^2+3^2$

$⇒MA^2=16$

$⇒MA=4$ (do $MA>0)$

Ta có: `S_{ABC}=\frac{AM.BC}{2}=\frac{4.6}{2}=12(cm^2)`

b) Xét $ΔABC$ có $M;O$ lần lượt là trung điểm $BC;AC$

$⇒MO$ là đường trung bình $ΔABC$ 

$⇒MO//AB$

$⇒$ Tứ giác $ABMO$ là hình thang.

c) Do $K$ đối xứng với $M$ qua $O$

$⇒O$ là trung điểm $MK$

Xét tứ giác $AMCK$ có $AC$ cắt $MK$ tại $O$ là trung điểm mỗi đường

$⇒$ Tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét hình bình hành $AMCK$ có $∠AMC=90^0$

$⇒$ Hình bình hành $AMCK$ là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông)

Để tứ giác $AMCK$ là hình vuông

$⇔$ Tứ giác $AMCK$ là hình chữ nhật (vừa chứng minh) và $AM=CM$

Xét $ΔAMC$ vuông tại M có $AM=CM$

$⇒ΔAMC$ vuông cân tại M

$⇒∠MAC=45^0$

Do $AM$ là phân giác $ΔABC$

`⇒∠MAC=∠MAB=\frac{∠BAC}{2}`

`⇒∠BAC=2∠MAC=2.45^0=90^0`

Vậy để tứ giác $AMCK$ là hình vuông thì $ΔABC$ cần vuông tại A