a) Tứ giác ACPI nội tiếp nên \(\widehat{CPI}=180^0-\widehat{CAI}=90^0\)

Tứ giác CPKB có tổng 2 góc đối nhau bằng 180⁰

(\(\widehat{CBK}+\widehat{CPK}=90^0+90^0=180^0\))

Suy ra đpcm.

b) \(\widehat{ACI}=\widehat{BKC}=90^0-\widehat{BCK;}\widehat{CAI}=\widehat{BKC}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\Delta IAC~\Delta CBK\left(g.g\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{IA}{CB}=\frac{AC}{BK}\) Suy ra đpcm.

c) Dễ thấy:

\(\widehat{APB}=\widehat{APC}+\widehat{BPC}=\widehat{AIC}+\widehat{CKB}=\widehat{AIC}+\widehat{ACI}=90^0\)

Do đó tam giác APB vuông tại P.

d) Ta có: \(BK=\frac{AC.BC}{AI}\le\frac{\frac{\left(AC+BC\right)^2}{4}}{AI}=\frac{AB^2}{4AI}=const\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi AC = BC.

Ta có: \(S_{ABKI}=\frac{1}{2}.AB.\left(AI+BK\right)\le\frac{1}{2}AB.\left(AI+\frac{AB^2}{4AI}\right)\)

Diện tích ABKI lớn nhất khi C là trung điểm AB.