Đáp án: $C$ không có giá trị lớn nhất

 

Giải thích các bước giải:

$C=\dfrac{A}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}}{\sqrt{x}-7}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-6\sqrt{x}-7}$

$ĐKXĐ:x≥0;x\neq49$

Đặt $\sqrt{x}=y(y≥0;y\neq7)⇒x=y^2$

`⇒C=\frac{y-1}{y^2-6y-7}`

Khi `C=0⇔\frac{y-1}{y^2-6y-7}=0`

`⇒y-1=0⇒y=1⇒x=1` (thỏa mãn)

Khi $C\neq0$

`C=\frac{y-1}{y^2-6y-7}⇒C(y^2-6y-7)=y-1`

$⇔Cy^2-(6C+1)y+1-7C=0(*)$

Ta có:

$Δ=[-(6C+1)]^2-4.C.(1-7C)$

$=64C^2+8C+1$

Để $C$ có giá trị lớn nhất

$⇔(*)$ có nghiệm

$⇔Δ≥0⇔64C^2+8C+1≥0$

`⇔(8C+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}≥0` (luôn đúng)

$⇒(*)$ luôn có nghiệm

Áp dụng hệ thức $Vi-ét$ ta có: $\begin{cases}y_1+y_2=\dfrac{6C+1}{C}\\y_1y_2=\dfrac{1-7C}{C}\end{cases}$

Ta thấy phương trình $(*)$ luôn có ít nhất nghiệm không âm

$⇒\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y_1+y_2=\dfrac{6C+1}{C}≥0\\y_1y_2=\dfrac{1-7C}{C}≥0\end{cases}(1)\\y_1y_2=\dfrac{1-7C}{C}≤0(2)\end{array} \right. $

$(1)⇔\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}6C+1≥0\\C>0\end{cases}\\\begin{cases}6C+1≤0\\C<0\end{cases}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}1-7C≥0\\C>0\end{cases}\\\begin{cases}1-7C≤0\\C<0\end{cases}\end{array} \right.\end{cases}⇔\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}C≥\dfrac{-1}{6}\\C>0\end{cases}\\\begin{cases}C≤\dfrac{-1}{6}\\C<0\end{cases}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}C≤\frac{1}{7}\\C>0\end{cases}\\\begin{cases}C≥\dfrac{1}{7}\\C<0\end{cases}\end{array} \right.\end{cases}$

$⇔\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}C>0\\C≤\dfrac{-1}{6}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}0<C≤\dfrac{1}{7}\\\dfrac{1}{7}≤C<0\end{array} \right.\end{cases}⇔\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}C>0\\C≤\dfrac{-1}{6}\end{array} \right.\\0<C≤\dfrac{1}{7}\end{cases}$

$⇔0<C≤\dfrac{1}{7}$

$(2)⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}1-7C≤0\\C>0\end{cases}\\\begin{cases}1-7C≥0\\C<0\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}C≥\dfrac{1}{7}\\C>0\end{cases}\\\begin{cases}C≤\dfrac{1}{7}\\C<0\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}C≥\frac{1}{7}\\C<0\end{array} \right.$

Kết hợp các $ĐK$ ta thấy $C$ không có giá trị lớn nhất