a/ Xét tam giác vuông NIP: IP = căn(NP^2 - IN^2) = căn(15^2 - 12^2) = 9.

b/ ta có: QN^2 = QI^2 + NI^2 = 16^2 + 12^2 = 400,

NP^2 = 15^2 = 225

QP^2 = (QI + IP)^2 = (16 + 9)^2 = 625

=> QP^2 = QN^2 + NP^2 => tam giác QNP vuông tại N hay QN vuông góc với NP.

c/ diện tích MNPQ = (MN + QP).NI/ 2

Tính MN: từ M kẻ MJ vuông góc với QP, do MNPQ là hình thang cân nên dễ thấy QJ = IP = 9 và MN = IJ = QI - QJ = 16 - 9 = 7.

QP = QI + IP = 16 + 9 = 25

=> diện tích MNPQ = (7+25).12/2 =192

d/ KN^2 = KP.KQ
<=> KN/KP = KQ/KN

E là trung điểm PQ => E cũng là trung điểm IJ => EI = EJ =IJ/2 = 7/2 =3,5

Ta có: EN = căn(EI^2 + NI^2) = căn(3,5^2 + 12^2) = 12,5
mà QE = QJ + EJ = 9 + 3,5 = 12,5

=> EN = QE => tam giác QEN cân tại E => góc ENQ = góc EQN
mà góc ENQ = góc KNP ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)

=> góc EQN = góc KNP
hay góc KQN = góc KNP

Xét tam giác KQN và tam giác KNP có :

góc K chung
góc KQN = góc KNP

=> tam giác KQN đồng dạng với tam giác KNP

=> KN/KP = KQ/KN => KN.KN=KP.KQ (dpcm)