Đáp án:

$1)$ Vì $ΔOAB$ cân tại $O ⇒$ Góc $A1 =$ góc $B1$ ($2$ góc đáy tam giác cân)

Mà:

Góc $A1 +$ góc $A2 = 180$ độ (kề bù)

Góc $B1 +$ góc $B2 = 180$ độ (Kề bù)

$⇔$ Góc $A2 =$ góc $B2.$ 

Xét $ΔAPC$ và $ΔBMD,$ có: 

$AP=MB$ (đề bài)

Góc $A2 =$ góc $B2$ (chứng minh trên)

$AC=BD$ (đề bài)

$⇒ΔAPC=ΔBMD (c-g-c)$ <Điều phải chứng minh>

$⇔ CP=MD$ ($2$ cạnh tương ứng)

$2)$ Vì $ΔAPC=ΔBMD$ (chứng minh câu $1$)

$⇔$ Góc $CPA =$ góc $DMB$ ($2$ góc tương ứng)

Mà góc $DMB =$ góc $M1$ (đối đỉnh)

$⇒$ Góc $CPA =$ góc $M1$ (vì cùng bằng góc $DMB$)

Xét $ΔCMP,$ có: 

Góc $CPA =$ góc $M1$ (chứng minh trên)

$⇔ ΔCMP$ cân (có hai góc đáy bằng nhau)

$3)$ Ta có:

Góc $M1 =$ góc $DMB$ (đối đỉnh)

$⇔ C,M,D$ thẳng hàng. $(1)$

Vì $ΔCMP$ cân (chứng minh câu $2$)

$⇔ CP=CM$ ($2$ cạnh bên tam giác cân)

Mà $CP = MD$ (chứng minh câu $1$)

$⇔ CM=MD$ (Cùng bằng $CP$) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2) ⇒ M$ là trung điểm $CD$

BẠN THAM KHẢO NHA!!!