Đáp án:

Ta có : 

$\frac{1}{4}.x^2 + x + 3$

$ = (\frac{1}{2} .x)^2 + 2.x .\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$

$ = ( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$ 

Do$ ( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2})^2 ≥ 0$ => $( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2})^2 +  \frac{11}{4} ≥ \frac{11}{4}$ 

=> Biểu thức luôn dương với mõi x

Dấu "=" xẩy ra

$<=> \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = 0 $

$<=> x = - 1 $

Vậy GTNN của $\frac{1}{4}.x^2 + x + 3$ là $\frac{11}{4} <=> x = -1$

Giải thích các bước giải:

`1/4x^2+x+3`

`=(1/2x)^2+2.x.1/2+1+2`

`=(1/2x+1)^2+2`

$\text{Có: $(\dfrac{1}{2}x+1)^2$ ≥ 0 ∀ x}$

`⇒(1/2x+1)^2+2≥2∀x`

$\text{⇒ Đa thức luôn dương ∀ x}$

$\text{Dấu "=" xảy ra}$

`⇔(1/2x+1)^2=0`

`⇔1/2x+1=0`

`⇔1/2x=-1`

`⇔x=-2`

$\text{Vậy Min biểu thức = 2 khi x = -2}$