a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:

$\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC}$

$\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{AC}{BC}$

Do $AB = AC \, (gt)$

nên $\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AE}{BE}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AE}{BE} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

$\Rightarrow AD = AE$

Vậy $ΔADE$ cân tại $A$

b) Ta có: $\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AE}{BE}$ (chứng minh ở câu a)

$\Rightarrow ED//BC$ (Theo định lý Thales đảo)

$\Rightarrow BCDE$ là hình thang $(1)$

Ta lại có: $AB = AC \, (gt)$

$AE = AD$ (câu a)$

$\Rightarrow BE = CD$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow BCDE$ là hình thang cân

c) Ta có:

$\widehat{EBD} = \widehat{DBC} \, (gt)$

$\widehat{EDB} = \widehat{DBC}$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{EBD} = \widehat{EDB}$

$\Rightarrow ΔEBD$ cân tại $E$

$\Rightarrow EB = ED$

Chứng minh tương tự, ta được: $DE = DC$

Do đó $BE = ED = DC$

d) Ta có: $\widehat{A} = 50^o$

$\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180^o - 50^o}{2} = 65^o$

$\Rightarrow \widehat{BED} = \widehat{CDE} = 180^o - 65^o = 115^o$