a) Xét ΔABM và ΔKBM, có:

.AB=BK(gt)

.^B1=^B2(t/c tia phân giác)

.BM chung

=> ΔABM=ΔKBM(C.G.C)=>MA=MK(2 cạnh t.ư)

b) Xét ΔAME và ΔKMC, có:

.^A=^K=90 độ

.AM=MK(từ a)

.^M1=^M2(đối đỉnh)

=>ΔAME=ΔKMC(g.c.g)

=>ME=MC(2 cạnh t.ư)

Xét ΔMEC, có: ME=MC(cmt)=>ΔMEC cân tại M

c) Xét ΔABC, có:

^A+^B+^C=180 độ=>^B=180 độ-(^A+^C)=60 độ

. AE+AB=BE, CK+BK=CB

Mà AE=CK(từ a)=>AE+AB=BE= CK+BK=CB

=>BE=CB

=>ΔBEC, cân

Mà ^B=60 độ

=>ΔBEC đều

d). Trong ΔBEC, có:

EK⊥BC=>EK là đường cao của BC

CA⊥BE=CA là đường cao của BE

Mà ΔBEC đều=>EK là đường trung tuyến của BC=>BK=KC

=>CA là đường trung tuyến của BE=>BA=AE

^AEM+^MEC=60 độ=>^MEC=60 độ-^AEM=60 độ-30 độ=30 độ

^BCA+^ACE=60 độ=>^ACE=60 độ-^BAC=60 độ-30 độ=30 độ

EN+NC=CE, mà CE=BA(cmt)

Mà EN=BA=>NC=AB

Gọi I là giao điểm của KN và AC

Xét ΔKCI và ΔNCI, có:

.KC=CN(cmt)

.^BCA=^ECA(cmt)

.CI chung

=> ΔKCI = ΔNCI(c.g.c)

=>^KIC=^CIN(2 góc t.ư)

Mà ^KIC+^CIN=180 độ(kề bù)

=>^KIC=^CIN=$\frac{180 độ}{2}$ =90 độ

=>KN⊥CI, mà I thuộc CA=>KN⊥CA

Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔABM` và `ΔKBM` có:

          `BA = BK(g t)`

          `\hat{ABM}=\hat{KBM}(g t)`

          `BM:chung`

`=> ΔABM = ΔKBM(c.g.c)`

b) `ΔABM = ΔKBM(cmt)`

`=> AM = KM` (2 cạnh tương ứng)

      `\hat{BAM}=\hat{BKM}=90^o` (2 góc tương ứng)

`⇒ KM ⊥ BC`

Xét `ΔAME` và `ΔKMC` có:

      `\hat{MAE}+\hat{MKC}=90^o(MA ⊥ BE; KM⊥BC)`

      `AM=KM(cmt)`

      `\hat{AME}=\hat{KMC}` (2 góc đối đỉnh)

`⇒ ΔAME=ΔKMC (g.c.g)`

`⇒ ME = MC` (2 cạnh tương ứng)

`=> ΔMEC` cân tại `M`

c) `ΔABC` vuông tại `A => \hat{ABC}+\hat{ACB}=90^o`

`=> \hat{ABC}+30^o = 90^o`

`=> \hat{ABC}=60^o`

`ΔAME=ΔKMC(cmt)`

`=> AE = KC` (2 cạnh tương ứng)

Lại có: `BA = BK(g t)` 

`=> BA + AE = BK+KC`

`=> BE = BC =>ΔBEC` cân tại `B`

mà `\hat{EBC}=60^o ⇒ ΔBEC` đều

d) `ΔBEC` đều có:

+) `EK` là đường cao `-> EK` đồng thời là đường trung tuyến

`=> BK=CK=1/2 BC`

+) `CA` là đường cao `→CA` đồng thời là đường trung tuyến

`=> AB=AE=1/2 BE`

`ΔBEC` đều `=> \hat{BCE}=60^o; BE=EC=BC`

Có: $\begin{cases} AN ⊥ EK\\ BC ⊥ EK\end{cases}$

$⇒ AN//BC$

`=> \hat{EAN}=\hat{ABC}=60^o` (2 góc đồng vị)

      `\hat{ENA}=\hat{BCE}=60^o` (2 góc đồng vị)

`⇒ \hat{AEN}=\hat{EAN}=\hat{ENA}=60^o`

`⇒ ΔANE` đều `=> AE = EN`

mà `AE = 1/2 BE ⇒ EN = 1/2 BE = 1/2 EC = 1/2 BC  = CK`

`EN=1/2 EC=> N` là trung điểm của `EC => CN = EN = CK`

`=> ΔCNK` cân tại `C`

Lại có: `\hat{KCN}=60^o ⇒ ΔCNK` đều

`=> \hat{CNK}=60^o`

`⇒ \hat{CNK}=\hat{BEC}`

mà `2` góc này ở vị trí đồng vị $⇒ KN//BE$

mà $BE ⊥ AC ⇒ KN ⊥ AC(đpcm)$