Nếu $p=2$

$⇒ p^2 + 44 = 4 + 44 = 48 \vdots 2$ (không phải là số nguyên tố)

Nếu $p=3$

$⇒ p^2 + 44 = 9  + 44 = 53$ (là số nguyên tố)

Nếu $p > 3$ $⇒$ $p$ có dạng $3k+1;3k+2$

$TH1$.$p=3k+1$

$⇒ p^2 + 44 = (3k+1)^2 + 44 = (3k+1)(3k+1) + 44 = 9k^2 + 6k + 1 + 44 = 9k^2 + 6k + 45 = 3(3k^2 + 2k + 15) \vdots 3$ và lớn hơn $3$

$TH2$.$p=3k+2$
$⇒ p^2 + 44 = (3k+2)^2 + 44 = (3k+2)(3k+2) + 44 = 9k^2 + 12k + 4 + 44 = 9k^2 + 12k + 48 = 3(3k^2 + 4k + 16) \vdots 3$ và lớn hơn $3$

  Vậy $p=3$

 

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

$\text{Với $p=3$ , ta có:}$

$p^2+44=3^2+44=9+44=53$

$\text{Vậy $p=3$ thỏa mãn.}$

$\text{Với $p\neq3$ , ta có:}$

$\text{$p$ là số nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$.Như vậy ta sẽ có $2$ trường hợp:}$

$\text{$p:3$ dư $1⇒p=3k+1$}$

$⇒p^2+44=(3k+1)^2+44$

$⇒(3k+1)(3k+1)+44$

$=9k^2+6k+1+44$

$=9k^2+6k+45$

$=3(3k^2+2k+15)$

$⇒3\vdots3 ⇒ 3(3k^2+2k+15)\vdots3$

$\text{Vậy loại trường hợp này.}$

$\text{$p:3$ dư $2 ⇒ p=3k+2$}$

$p^2+44=(3k+2)^2+44$

$⇔9k^2+12k+4+44$

$⇔9k^2+12k+48$

$⇔3(3k^2+4k+16)$

$3\vdots3 ⇒ 3(3k^2+4k+16)\vdots3$

$\text{Vậy loại trường hợp này.}$

$\text{Vậy chỉ có $x=3$ là thỏa mãn đề bài.}$

Chúc em học tốt.