Đáp án:

 $\text{Chúc bạn học tốt}$

Giải thích các bước giải:

 Xét chữ số tận cùng

Ta có:$(..1)^k=(...1)$ (Cơ số tận cùng bằng lũy thừa nào cũng bằng $1)$

$⇒A=1+11^2+11^3+..+11^9$

$⇒A=(..1)+(..1)+(..1)+..+(..1)$

$⇒A=(..0) $(Tận cùng bằng $0)$

$⇒A\vdots 10$

Xét $A$:

$A=1+11^2+11^3+11^4+..+11^8+11^9$

$⇒A=(1+11)+11^3(1+11)+..+11^8(1+11)$

$⇒A=12+11^3×12+..+11^8×12$

$⇒A=12×(1+11^3+..+11^8)$

$⇒A \vdots 12$

Vì $A$ chia hết cho $12$ và $10 ⇒A \vdots 60$

Vậy đpcm

* Những số có tận cùng là a thì ta ghi là $\overline{...a}$ (a ∈ N)

* $11^{b}$  luôn có tận cùng là 1 (b ∈ Z)

* Các số $\vdots$ c mà c $\vdots$ 10 thì luôn có tận cùng là 0 (c ∈ Z)
Ta có:

A = 1+ $11^{2}$ + $11^{3}$ + $11^{4}$ + ... + $11^{9}$

A = 1 + $\overline{...1}$ + $\overline{...1}$ + $\overline{...1}$ + ... + $\overline{...1}$

A = $\overline{...9}$

⇒ A có tận cùng là 9 mà để A $\vdots$ 60 thì A phải có tận cùng là 1.

⇒ A không chia hết cho 60

Vậy không thể có số A = 1+ $11^{2}$ + $11^{3}$ + $11^{3}$ + $11^{4}$ + ... + $11^{9}$ mà A $\vdots$ 60.