a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$,

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to BC=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15cm$

Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AB.AC$

$\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABH$ vuông tại $H$,

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}$

$\to BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}-7,{{2}^{2}}}=5,4cm$

 

b)

Xét $\Delta HBA$ và $\Delta HAC$, ta có:

+  $\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

+  $\widehat{HBA}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{C}$)

Nên $\Delta HBA\backsim\Delta HAC\left( g.g \right)$

 

c)

Xét tứ giác $AMHN$ có $\widehat{A}=\widehat{M}=\widehat{N}=90{}^\circ $

Nên $AMHN$ là hình chữ nhật

Do đó ${{S}_{AMHN}}=HM.HN$

Ta có ${{S}_{\Delta ABH}}=\dfrac{1}{2}HM.AB=AH.BH$

$\Rightarrow HM=\dfrac{AH.BH}{AB}=\dfrac{7,2.5,4}{9}=4,32cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ACH$ vuông tại $H$,

Ta có $A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$

$\Rightarrow CH=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}-7,{{2}^{2}}}=9,6cm$

Ta có ${{S}_{\Delta ACH}}=\dfrac{1}{2}HN.AC=\dfrac{1}{2}AH.CH$

$\Rightarrow HN=\dfrac{AH.CH}{AC}=\dfrac{7,2.9,6}{12}=5,76cm$

Vậy ${{S}_{AMHN}}=4,32.5,76=24,8832c{{m}^{2}}$