Đáp án:

\[x = 1\]

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ:  \(x \ge \frac{1}{2}\)

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
4x\sqrt {x + 3}  + 2\sqrt {2x - 1}  = 4{x^2} + 3x + 3\\
 \Leftrightarrow 4{x^2} + 3x + 3 - 4x\sqrt {x + 3}  - 2\sqrt {2x - 1}  = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {4{x^2} - 4x\sqrt {x + 3}  + \left( {x + 3} \right)} \right] + \left[ {\left( {2x - 1} \right) - 2\sqrt {2x - 1}  + 1} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3}  + {{\sqrt {x + 3} }^2}} \right] + \left[ {{{\sqrt {2x - 1} }^2} - 2\sqrt {2x - 1}  + 1} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2}\\
{\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2}\\
 \Rightarrow {\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2}\\
\left( 1 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} = 0\\
{\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x = \sqrt {x + 3} \\
\sqrt {2x - 1}  = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình đã cho.