Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AD, BE$ là đường cao $\Delta ABC\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to CH\perp AB$ 

$\to\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o$

Mà $\widehat{FAC}=\widehat{BAE}$

$\to\Delta AEB\sim\Delta AFC(g.g)$

$\to\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

b.Ta có $\Delta BFC$ vuông tại $F, N$ là trung điểm $BC$

$\to NF=NB=NC$

Tương tự $NE=NB=NC\to NE=NF\to\Delta NEF$ cân tại $N$

Mà $M$ là trung điểm $EF\to MN\perp EF$

c.Ta có:

$\dfrac{AD}{HD}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HBC}}$

$\dfrac{BE}{HE}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAC}}$

$\dfrac{CF}{HF}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAB}}$

$\to P=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HBC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAB}}$

$\to P=S_{ABC}\cdot (\dfrac{1}{S_{HBC}}+\dfrac{1}{S_{HAC}}+\dfrac{1}{S_{HAB}})$

$\to P\ge S_{ABC}\cdot \dfrac{9}{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}$

$\to P\ge S_{ABC}\cdot \dfrac{9}{S_{ABC}}$

$\to P\ge 9$

Dấu = xảy ra khi $S_{HAB}=S_{HCB}=S_{HCA}\to \Delta ABC$ đều

d.Từ câu a

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AE}{AB})^2=\cos^2\hat A=\cos^260^o$

$\to S_{AEF}=\dfrac14S_{ABC}$

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Ta có $\hat A=60^o, BC=a$ không đổi $\to (O)$ cố định

Kẻ $OG\perp AD\to OGDN$ là hình chữ nhật $\to GD=ON$

$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot AD\cdot BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot (AG+GD)\cdot BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot (AG+ON)\cdot BC$

$\to S_{ABC}\le \dfrac12\cdot (AO+ON)\cdot BC$ không đổi

Dấu = xảy ra khi $A,O,N$ thẳng hàng

$\to A$ nằm giữa cung $BC\to \Delta ABC$ đều

$\to S_{AEF}\le \dfrac18\cdot (AO+ON)\cdot BC$