Đáp án: $\text{Bài 3: Chứng minh ở dưới}$

$\text{Bài 4: -3}$

$\text{Bài 5:}$ `m = 7/3`

$\text{Bài 6:}$ `y = -2x+2`

Giải thích các bước giải:

$\text{Bài 3: Ta có TXĐ: D = R }$

`+)` `y^' = (2x^3-3(2a+1)x^2+6a(a+1)x+1)^' `

`= 6x^2 - 6(2a+1)x + 6a(a+1)x`

$\text{+) Để hàm số có 2 điểm cực trị hay 1 điểm cực đại và một điểm cực tiểu thì: }$

`y^'` $\text{phải có hai nghiệm phân biệt }$

`=>` `Δ_(y^')^'=9(2a+1)^2-6.6a(a+1)=9(4a^2+4a+1)-6.6a(a+1)`

`=36a^2+36a+9-36a^2-36a=9>0` $\text{ với mọi x }$

`=> y^'` $\text{luôn có hai nghiệm phân biệt }$

`=>` $\text{Hàm số luôn có 1 điểm cực đại và một điểm cực tiểu (đpcm) }$

----

$\text{Ta có }$ `x_1 = (3(2a+1)-sqrt9)/(6)` $và$ `x_2 = (3(2a+1)+sqrt9)/(6)`

$\text{Do hệ số a dương nên }$ `x_1` $\text{là cực đại và }$ `x_2` $\text{là cực tiểu }$

$\text{Ta thấy }$ `x_2 - x_1 = (3(2a+1)+sqrt9)/(6) - (3(2a+1)-sqrt9)/(6)`

`= (3(2a+1)+3)/(6) - (3(2a+1)-3)/(6) `

`= (3(2a+1)+3-3(2a+1)+3)/(6) = 6/6=1`

$Vậy$ `x_2 - x_1` $\text{không phụ thuộc vào a và luôn bằng 1 }$

------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{Bài 4: TXĐ: D = R}$

`+)` `y^' = (x^3-3x^2+1)^' = 3x^2-6x `

$Cho$ `y^' = 0; => 3x^2-6x  = 0`

`<=> 3x(x-2) = 0; => x=0; x = 2;`

$\text{Ta có bảng (ở hình dưới)}$

$\text{Từ đó ta thấy các điểm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là 1 và -3}$

$\text{=> Tích giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là: (-3) . 1 = -3}$

------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{Bài 5: +) TXĐ: D = R}$

`+)` `y^' = (x^3-mx^2+(m-2/3)x+5)^'=3x^2-2mx+m-2/3`

$\text{Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 thì}$

`y^'(1) = 0` và `y^"(1) > 0`

$\text{+) Từ đó ta thấy:}$ `y^'(1) = 0`

`<=> 3.1^2-2m.1+m-2/3 = 0`

`<=> 3 - 2m + m - 2/3 = 0`

`<=> 7/3 - m = 0`

`<=> m = 7/3  (1)`

$\text{+) Để hàm số là cực tiểu;}$ `=> y^"(1) > 0`

`<=>  (3x^2-2mx+m-2/3)^' = 6x - 2m + 1 > 0`

`<=> 6.1  -2m + 1 > 0`

`<=> 7 - 2m > 0`

`<=> m < 7/2  (2)`

$\text{Từ (1) và (2) =>}$ `m = 7/3` $\text{thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1}$

------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{Bài 6: TXĐ: D = R}$

`+)` `y^' = (x^3-3x^2+2)^' = 3x^2 - 6x`

$Cho$ `y^' = 0; => 3x^2 - 6x = 0; => x =0; x = 2`

$\text{Ta có bảng (ở hình dưới)}$

$\text{Từ đó đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là (0; 2) và (2; -2)}$

$\text{Gọi 2 điểm đó là A(0; 2) và B(2; -2)}$

$\text{Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A và B có dạng:}$

`(x-x_A)/(x_B-x_A)=(y-y_A)/(y_B-y_A)`

`<=> (x-0)/(2-0)=(y-2)/(-2-2); <=> (x)/(2)=(y-2)/(-4)`

`<=> -4x = 2(y-2); <=> -4x = 2y - 4`

`<=> 2y=-4x+4; <=> y = -2x+2`