a)

Có $\widehat{AMB}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Nên $AM\bot MB$

Xét $\Delta AMD$, ta có:

+  $O$ là trung điểm $MD$

+  Tỉ số $\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{2}{3}$

Nên $I$ là trọng tâm $\Delta AMD$

Mà $MI$ cắt $AD$ tại $H$

Nên $H$ là trung điểm $AD$

Do đó $OH$ là đường trung bình $\Delta AMD$

$\Rightarrow OH//AM$

Mà $AM\bot MB$

Vậy $OH\bot MB$

 

b)

Ta có đường kính $AB$ vuông góc $MN$

Nên $\overset\frown{AM}=\overset\frown{AN}$

$\Rightarrow \widehat{ACM}=\widehat{AME}$

Lại có $\widehat{MAE}$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ACM\backsim\Delta AME\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{AM}=\dfrac{AM}{AE}$

$\Rightarrow A{{M}^{2}}=AE.AC$

$\Rightarrow AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACE$

Mà $AM\bot MB$

Nên tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACE$ nằm trên cạnh $MB$

Gọi $G$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACE$

Do đó để $NG$ nhỏ nhất

Thì $NG\bot BM$

Do $N,M,B$ cố định nên $G$ cũng sẽ cố định

Khi đó $C$ chính giao điểm của $\left( O \right)$ và $\left( G \right)$