Biểu thức rút gọn của em đúng rồi nhé

$P=\dfrac{x}{\sqrt[]{x}-1}$

$=\dfrac{x-1}{\sqrt[]{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt[]{x}-1}$

$=\sqrt[]{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt[]{x}-1}$

$=\sqrt[]{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt[]{x}-1}+2$

$≥2\sqrt[]{(\sqrt[]{x}-1).\dfrac{1}{\sqrt[]{x}-1}}+2$ (Theo bđt $Cô-si$)

$=2+2=4$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt[]{x}-1=\dfrac{1}{\sqrt[]{x}-1} → x=2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $4$ khi $x=2$.

 

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

$P=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}$

⇔ $P=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}$

⇔ $P=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$

⇔ $\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2$

Áp dụng bất đẳng thức cô si:

$\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1} \geq 2\sqrt{(\sqrt{x}-1).(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1})}=2$

⇒ $P=\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2 \geq 4$

Vậy GTNN của P là $4$ khi $\sqrt{x}-1=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$

⇔ $(\sqrt{x}-1)^2=1$

⇔ $x-2\sqrt{x}+1=1$

⇔ $\sqrt{x}.(\sqrt{x}-2)=0$

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}-2=0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=0(KTM)\\x=4(TM)\end{array} \right.\)

⇒ $x=4$

Chúc bạn học tốt !!!