a) Xét hai tam giác `AKB` và `DKE` có:

$\widehat {AKB} = \widehat {DKE}$ (đối đỉnh)

$\widehat {ABK} = \widehat {DEK}$( so le trong do AB║DE)

Suy ra:  `ΔAKB` đồng dạng `ΔDKE` (g.g)

b) Vì `ΔAKB` đồng dạng `ΔDKE` (g.g) ( theo ý a) nen ta có:

$\dfrac{AK}{KD}=\dfrac{AB}{DE}$ (1)

Do AB║DE nên theo định lí Ta lét có:

$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{CE} (2) $

Từ (1) và (2) suy ra: $\dfrac{AK}{KD}=\dfrac{AC}{CE}$

c)

Áp dụng định lí Pytago trong tan giác `ABC` vuông tại `A` có:

$\begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
 \Leftrightarrow B{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225\\
 \Leftrightarrow BC = 15\,cm\\

\end{array}$

- Vì `AD` là đường phân giác trong của tam giác `ABC` có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{9}{{12}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow CD = \frac{4}{3}BD\\
 \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{BD + DC}} = \dfrac{{BD}}{{BD + \dfrac{4}{3}BD}} = \dfrac{3}{7}\\
 \Rightarrow BD = \dfrac{3}{7}BC = \dfrac{3}{7}.15 = \dfrac{{45}}{7}cm\\
 \Rightarrow CD = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{45}}{7} = \dfrac{{60}}{7}cm\\
(2) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{DE}} = \dfrac{{AC}}{{CE}} = \dfrac{{BC}}{{CD}} = \dfrac{{15}}{{\dfrac{{60}}{7}}} = \dfrac{7}{4}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{9}{{DE}} = \dfrac{{12}}{{CE}} = \dfrac{7}{4}\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
DE = \dfrac{{4.9}}{7} = \dfrac{{36}}{7}\\
CE = \dfrac{{4.12}}{7} = \dfrac{{48}}{7}
\end{array} \right.\\
AE = AC - CE = 12 - \dfrac{{48}}{7} = \dfrac{{36}}{7}cm\\
Ta\,co:\widehat {BAE} = {90^O};AB\parallel DE \Rightarrow ABDE\,hình\,thang\,vuông\\
{S_{ABDE}} = \dfrac{1}{2}.AC.(AB + DE)\\
 = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{36}}{7}.(9 + \dfrac{{36}}{7}) = \dfrac{{1782}}{{49}}c{m^2}
\end{array}$