Đáp án:

${f_1} =  - 431cm$

Giải thích các bước giải:

Lúc ban đầu, ta có:
$\begin{array}{l}
k = \dfrac{{{d_1}'}}{{{d_1}}}.\dfrac{{{d_2}'}}{{{d_2}}} = \dfrac{{{h_2}}}{{{h_1}}} = 2\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{d_1}' - {f_1}}}{{{f_1}}}.\dfrac{{{f_2}}}{{{d_2} - {f_2}}} = 2\\
 \Leftrightarrow {d_1}'{f_2} + {f_1}{f_2} = 2{f_1}{d_2}\\
 \Leftrightarrow {d_1}'{f_2} + {f_1}{f_2} = 2{f_1}\left( {a - {d_1}'} \right)\\
 \Leftrightarrow {d_1}' = \dfrac{{{f_1}\left( {2a - {f_2}} \right)}}{{{f_2} - 2{f_1}}} = \dfrac{{{d_1}{f_1}}}{{{d_1} - {f_1}}}\\
 \Leftrightarrow \left( {2a - {f_2}} \right)\left( {{d_1} - {f_1}} \right) = {d_1}\left( {{f_2} - 2{f_1}} \right)\\
 \Leftrightarrow {d_1}\left( {2a - 2{f_1} - 2{f_2}} \right) = {f_1}\left( {2a - {f_2}} \right)
\end{array}$

Vì phương trình trên luôn đúng với mọi d1 do đó ta suy ra được hệ sau:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2a - 2{f_1} - 2{f_2} = 0\\
2a - {f_2} = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = {f_1} + {f_2}\\
{f_2} = 2a
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{f_1} =  - a\\
{f_2} = 2a
\end{array} \right.
\end{array}$

Khi tăng khoảng cách giữa hai thấu kính thêm 96 cm chỉ tồn tại một vị trí cho ảnh cùng chiều cao 2,4mm nên ta có:
$\begin{array}{l}
k = \dfrac{{{d_1}'}}{{{d_1}}}.\dfrac{{{d_2}'}}{{{d_2}}} = \dfrac{{{h_2}}}{{{h_1}}} = 2\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{f_1}}}{{{d_1} - {f_1}}}.\dfrac{{{d_2}' - {f_2}}}{{{f_2}}} = 2\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{ - a}}{{{d_1} + a}}.\dfrac{{{d_2}' - 2a}}{{2a}} = 2\\
 \Leftrightarrow 4{d_1} + {d_2}' = - 2a\left( 1 \right)
\end{array}$

Theo giả thiết ảnh cách vật 183cm nên:
$\left| {{d_1} + {d_2}'} \right| = 183cm \Rightarrow {d_1} + {d_2}' =  - 183cm\left( 2 \right)$

Ta cũng có phương trình sau:

$\begin{array}{l}
{d_1}' + {d_2} = a + 96\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{d_1}{f_1}}}{{{d_1} - {f_1}}} + \dfrac{{{d_2}'{f_2}}}{{{d_2}' - {f_2}}} = a + 96\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{d_1}\left( { - a} \right)}}{{{d_1} + a}} + \dfrac{{2{d_2}'a}}{{{d_2}' - 2a}} = 2\left( {a + 96} \right)\\
 \Leftrightarrow 2{d_2}'a\left( {{d_1} + a} \right) - {d_1}a\left( {{d_2}' - 2a} \right) = \left( {a + 96} \right)\left( {{d_1} + a} \right)\left( {{d_2}' - 2a} \right)\\
 \Leftrightarrow 2{a^3} + 4{a^2}{d_1} - {a^2}{d_2}' = 96\left( {{d_1}{d_2} - 2a{d_1} + a{d_2}' - 2{a^2}} \right)\left( 3 \right)
\end{array}$

Từ (1) , (2) và (3) giải hệ phương trình ba ẩn ta thu được các kết quả sau:

$\begin{array}{l}
a = 431cm\\
{d_1} =  - 226cm\\
{d_2}' = 43cm
\end{array}$

Từ đó tiêu cự của thấu kính L1 là:

${f_1} =  - a =  - 431cm$