`a,` Xét `(O)` đường kính `BC` có: `E\in(O)`

`⇒\hat{BEC}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`⇒BE\botAC⇒\hat{BEA}=90^o` Hay `\hat{HEA}=90^o`

Xét `ΔABE` có:

`\hat{BEA}=90^o` `(cmt)`

`\hat{BAE}=45^o` `(\hat{BAC}=45^o)`

`⇒ΔABE` vuông cân tại `E`

`⇒AE=BE`

`b,` Xét `(O)` đường kính `BC` có: `D\in(O)`

`⇒\hat{BDC}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`⇒CD\botAB⇒\hat{CDA}=90^o` Hay `\hat{HDA}=90^o`

Xét tứ giác `ADHE` có: `\hat{HDA}+\hat{HEA}=90^o``+90^o=180^o`

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

`⇒` Tứ giác `ADHE` nội tiếp đường tròn đường kính `AH`

`⇒` Bốn điểm `A,D,H,E` thuộc đường tròn tâm `K`

`c,` Bốn điểm `A,D,H,E` cùng thuộc đường tròn tâm `K` `(cmt)`

`⇒ΔADE` nội tiếp đường tròn tâm `K`

Tứ giác `ADHE` nội tiếp đường tròn tâm `K` `(cmt)`

`⇒KA=KE`

Xét `ΔKAE` có: `KA=KE` `(cmt)`

`⇒ΔKAE` cân tại `K`

`⇒\hat{KAE}=\hat{KEA}` Hay `\hat{HAE}=\hat{KEA}` 

Tứ giác `ADHE` nội tiếp đường tròn tâm `K` `(cmt)`

`⇒\hat{HAE}=\hat{HDE}` (hai góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{HE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Mà `\hat{HAE}=\hat{KEA}` `(cmt)`

`⇒\hat{HDE}=\hat{KEA}` hay `\hat{CDE}=\hat{KEA}`

Xét `(O)` có: `\hat{CDE}=\hat{CBE}` (hai góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`⇒\hat{CBE}=\hat{KEA}` Hay `\hat{OBE}=\hat{KEA}`

Xét `(O)` có: `OB=OE=R`

`⇒ΔOBE` cân tại `O⇒\hat{OBE}=\hat{OEB}`

`⇒\hat{OEB}=\hat{KEA}`

Mà `\hat{AEK}+\hat{KEB}=\hat{AEB}=90^o`

`⇒\hat{OEB}+\hat{KEB}=90^o`

`⇒\hat{OEK}=90^o⇒KE\botOE`

Xét `(K)` có: `KE\botOE` `(cmt)`

`⇒OE` là tiếp tuyến của đường tròn `(K)`, `E` là tiếp điểm

Mà `ΔADE` nội tiếp đường tròn tâm `K`

`⇒OE` là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp `ΔADE`, `E` là tiếp điểm