a) Xét $ΔAPC$ và $ΔDBC$ có:

$AC = DC$

$PC = BC$

$\widehat{ACP} = \widehat{DCB} = 90^o$

Do đó $ΔAPC=ΔDBC \, (c.gc.)$

$\Rightarrow AP = BD$ (Hai cạnh tương ứng)

b) Ta có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $AP$

$\Rightarrow MC = MA = MP =\dfrac{1}{2}AP$

$N$ là trung điểm cạnh huyền $BD$$

$\Rightarrow NC= NB = ND = \dfrac{1}{2}BD$

mà $AP = BD$ (câu a)

nên $CM = CN$

c) Ta có:

$MC = MP = \dfrac{1}{2}AP$

$\Rightarrow ΔMCP$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MCP} = \widehat{MPC}$

hay $\widehat{MCP} =\widehat{APC}$ $(1)$

$NC = NB = \dfrac{1}{2}BD$

$\Rightarrow ΔNCB$ cân tại $N$

$\Rightarrow \widehat{NCB} = \widehat{NBC}$

hay $\widehat{NCB} = \widehat{CBD}$ $(2)$

Ta lại có: $\widehat{APC} = \widehat{CBD}$ $(ΔAPC=ΔDBC: \, câu \,\,a)$ $(3)$

Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow \widehat{MCP} = \widehat{MCB}$

Ta được:

$\widehat{MCN} = \widehat{MCP} + \widehat{NCD} = \widehat{MCB} + \widehat{NCD} = \widehat{BCD} = 90^o$

$\Rightarrow CM\perp CN$

d) Ta có: $ΔAPC=ΔDBC$ (câu a)

$\Rightarrow \widehat{APC} = \widehat{CBD}$ (Hai góc tương ứng)

Ta được: $\widehat{CBD} + \widehat{PAC}$

$= \widehat{APC} + \widehat{PAC} = 90^o$

Do đó $AP\perp BD$

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: