Đáp án+ Giải thích các bước giải:

 

Gọi $H$ là trung điểm $A'B'$

Ta có $C'H⊥A'B'; C'H⊥BB' \Rightarrow C'H⊥(ABB'A')$

$\widehat{(BC';(ABB'A')}=\widehat{C'BH}=60^o; BH=\sqrt{BB'^2+B'H^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

$ΔHBC'$ vuông tại $H$ nên ta có $C'H=BH. tan60^o=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$S_{ΔA'B'C'}=\dfrac{1}{2}.C'H.A'B'=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4} \Rightarrow V_{ABCA'B'C'}=BB'.S_{ΔA'B'C'}=\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}$

Gọi $Q$ là trung điểm của $B'C' \Rightarrow NP$//$MQ \Rightarrow NP$//$(AMQ)$

Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $BC$. Khi đó $B$ là trung điểm của $PI$

Ta có: $d(NP,AM)=d(NP,(AMQ))=d(P,(AMQ))=2.d(B,(AMQ))$

Gọi $K$ là trung điểm của $HB'$ thì $KQ$//$C'H$ và $KQ=\dfrac{1}{2}.C'H$

$S_{AMB'}=\dfrac{1}{2}.S_{ABB'}=\dfrac{a^2}{4} \Rightarrow V_{B'AMQ}=\dfrac{1}{3}.QK.S_{AMB'}=\dfrac{a^3\sqrt{15}}{48}$

Ta có: $AM⊥BH, AM⊥C'H \Rightarrow AM⊥(BHC') \Rightarrow AM⊥BC' \Rightarrow AM⊥MQ$

Ta có: $B'C'=\sqrt{C'H^2+HB^2}=2a \Rightarrow MQ=\sqrt{MB'^2+B'Q^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}; AM=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow S_{AMQ}=\dfrac{1}{2}.AM.MQ=\dfrac{5}{8}.a^2$

Nên $d(B;(AMQ))=d(B;(AMQ))=\dfrac{3.V_{B'AMQ}}{S_{AMQ}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$

$\Rightarrow d(NP;AM)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$