a) Đặt $ax^3 = by^3 = cz^3 =  k $

$\to ax^2 = \dfrac{k}{x}; by^2 = \dfrac{k}{y}; cz^2 = \dfrac{k}{z}$

$\to ax^2 + by^2 + cz^2 = k.\bigg(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\bigg) = k$

$\to \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2} = \sqrt[3]{k}$ (1)

 Lại có $ax^3 = k \to a  = \dfrac{k}{x^3}$ $\to \sqrt[3]{a} = \dfrac{\sqrt[3]{k}}{x}$

Tương tự có $\sqrt[3]{b} = \dfrac{\sqrt[3]{k}}{y}$ và $\sqrt[3]{c} = \dfrac{\sqrt[3]{k}}{z}$

$\to \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{k}.\bigg(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\bigg) = \sqrt[3]{k}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

b) Do $1 = xy+yz+zx$

$\to y^2 = y^2 + xy + yz + zx$

$ = y.(y+z) + x.(y+z) = (y+z).(y+x)$

Tương tự ta có : $1+z^2 = (z+x).(z+y)$ và $1+x^2 = (x+y).(x+z)$

Do đó : $\sqrt[]{\dfrac{(1+y^2).(1+z^2)}{1+x^2}}=  \sqrt[]{\dfrac{(y+z).(y+x).(z+x).(z+y)}{(x+y).(x+z)} }= |y+z| = y+z$

Tương tự ta có :

$\sqrt[]{\dfrac{(1+z^2).(1+x^2)}{1+y^2}}=  x+z$ và $\sqrt[]{\dfrac{(1+x^2).(1+y^2)}{1+z^2}}=  x+y$

Do đó : $P = x.(y+z) + y.(x+z) + z.(x+y) = 2.(xy+yz+zx) = 2$

Vậy $P = 2$

@Munz