a) Xét $ΔBME$ và $ΔBAC$ có:

$\widehat{BME} = \widehat{BAC} = 90^o$

$\widehat{ABC}:$ góc chung

Do đó $ΔBME\sim ΔBAC \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{BE}{BC}$

$\Rightarrow AB.BE = BM.BC$

b) Ta có:

$EM\perp BI \, (EM\perp BC)$

$BBM = MI \, (gt)$

$\Rightarrow ΔBEI$ cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{BEM} = \widehat{MEI}$

Ta lại có: $\widehat{BEM} = \widehat{MCK}$ $(\widehat{BEM} = \widehat{BCA})$

nên $\widehat{MEI} = \widehat{MCK}$

Xét $ΔMEI$ và $ΔMCK$ có:

$\widehat{EMI}:$ góc chung

$\widehat{MEI} = \widehat{MCK} \, (cmt)$

Do đó $ΔMEI\sim ΔMCK \, (g.g)$

c) Xét $ΔBEC$ có:

$EM\perp BC$

$CA\perp BE$

$K=EM\cap CA$

$\Rightarrow K$ là trực tâm

$\Rightarrow BH\perp EC$

Xét $ΔBMK$ và $ΔBHC$ có:

$\widehat{HBC}:$ góc chung

$\widehat{BMK} = \widehat{BHC} = 90^o$

Do đó $ΔBMK\sim ΔBHC \, (g.g)$ 

$\Rightarrow \dfrac{BM}{BH} = \dfrac{BK}{BC}$

$\Rightarrow BM.BC = BH.BK$ $(1)$

Xét $ΔCMK$ và $ΔCAB$ có:

$\widehat{ACB}:$ góc chung

$\widehat{CMK} = \widehat{CAB} = 90^o$

Do đó $ΔCMK\sim ΔCAB\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{CM}{CA} = \dfrac{CK}{BC}$

$\Rightarrow CM.BC = CA.CK$ $(2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow CA.CK + BH.HK = CM.BC + BM.BC = BC(CM + BM) = BC.BC = BC^2$

d) Xét $ΔABK$ và $ΔHCK$ có:

$\widehat{BAK} = \widehat{CHK} = 90^o$

$\widehat{AKB} = \widehat{HKC}$ (đối đỉnh)

Do đó $ΔABK\sim ΔHCK \, (g.g)$ 

$\Rightarrow \dfrac{AK}{HK} = \dfrac{BK}{CK}$

$\Rightarrow \dfrac{AK}{BK} = \dfrac{HK}{CK}$

Xét $ΔAKH$ và $ΔBKC$ có:

$\dfrac{AK}{BK} = \dfrac{HK}{CK}$ $(cmt)$

$\widehat{AKH} = \widehat{BKC}$ (đối đỉnh)

Do đó $ΔAKH\sim ΔBKC \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{KHA} = \widehat{KCB}$

hay $\widehat{KHA} = \widehat{ACB}$

mà $\widehat{ACB}$ không đổi

nên $\widehat{KHA}$ không đổi