Đáp án: $MN=10$

Giải thích các bước giải:

Không mất tính tổng quát giả sử $AB<CD$

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD, BC\to MN$ là đường trung bình $\Diamond ABCD$

$\to MN=\dfrac12(CD+AB)$

$Gọi $AC\cap BD=O$

Vì $ABCD$ là hình thang cân $\to OD=OC, OA=OB$

Mà $AC\perp BD\to \Delta OCD, \Delta OAB$ là tam giác vuông cân tại $O$

Kẻ $BE$ là đường cao của hình thang $ABCD\to ABEH$ là hình chữ nhật

Mà $AH=BE, AD=BC\to DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{BC^2-BE^2}=CE$

Lại có $\widehat{ACH}=\widehat{OCD}=45^o, \widehat{AHC}=90^o$

$\to\Delta HAC$ vuông cân tại $H$

$\to HA=HC$

$\to HC=10\to DH=CD-CH=DC-10$

$\to DH=CE=DC-10$

Lại có $DH=CD=\dfrac12(CD-HE)=\dfrac12(CD-AB)$

$\to \dfrac12(CD-AB)=CD-10$

$\to CD-\dfrac12(CD-AB)=10$

$\to \dfrac12(CD+AB)=10$

$\to MN=\dfrac12(CD+AB)=10$