Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)Theo\,Pytago:\\
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
 \Rightarrow A{B^2} = {13^2} - {5^2} = 144\\
 \Rightarrow AB = 12\left( {cm} \right)
\end{array}$

b) Do: OA = OB

=> O nằm trên đường trung trực của đoạn AB

OB = OC

=> O nằm trên đường trung trực của đoạn BC

OA = OC

=> O nằm trên đường trung trực của đoạn AC

Vậy O là giao điểm của 3 đường trung trực của tg ABC

c)

Ta có: O là giao điểm của 3 đường trung trực

Lại có: ABC là tam giác vuông tại A

=> O trùng với trung điểm của BC

=> AO = BC/2 = 13/2=6,5 (cm)

G là trọng tâm 

=> G nằm trên AO và :

$\begin{array}{l}
\dfrac{{AG}}{{AO}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow GO = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}.6,5 = \dfrac{{65}}{{30}} = \dfrac{{13}}{6}\left( {cm} \right)
\end{array}$