Đáp án:

$BI = \dfrac{3\sqrt{41}}{4} \, cm$

Giải thích các bước giải:

Từ $M$ kẻ $MN//BD \, (N\in AC)$

Ta lại có: $BM=MC$

$\Rightarrow NC = ND$ (tính chất đường trung bình)

Ta có: $DI//MN \, (BD//MN)$

và $AI = IM \, (gt)$

$\Rightarrow AD = DN$ (tính chất đường trung bình)

Do đó ta được:

$AD = DN = NC = \dfrac{1}{3}AC$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$, ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, cm$

$\Rightarrow AD = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}.12= 4\, cm$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔADB$ vuông tại $A$, ta được:

$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 4^2 + 5^2 = 41$

$\Rightarrow BD = \sqrt{41} \, cm$

Theo tính chất đường trung bình, ta có:

$MN = \dfrac{1}{2}BD$

$DI = \dfrac{1}{2}MN$

$\Rightarrow DI = \dfrac{1}{4}BD$

$\Rightarrow BI = BD - DI = \dfrac{3}{4}BD = \dfrac{3\sqrt{41}}{4} \, cm$