Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

1/ ΔGBH vuông tại G có: $\widehat{ABH}+\widehat{GHB}=90^0$

và $\widehat{GHA}+\widehat{GHB}=\widehat{AHB}=90^0$

⇒ $\widehat{ABH}=\widehat{GHA}$

ΔGAH vuông tại G có: $\widehat{GAH}+\widehat{GHA}=90^0$

và $\widehat{GHB}+\widehat{GHA}=\widehat{AHB}=90^0$

⇒ $\widehat{GAH}=\widehat{GHB}$

2/ Tứ giác AGHF có 3 góc vuông ⇒ Tứ giác AGHF là hình chữ nhật

M là giao điểm 2 đường chéo AH và GF

⇒ $MA=MF$

⇒ ΔMAF cân tại M

⇒ $\widehat{MAF}=\widehat{MFA}$ (1)

ΔHCF vuông tại F có FE là đường trung tuyến

⇒ $FE=\dfrac{1}{2}.HC=HE$

⇒ ΔHEF cân tại E

⇒ $\widehat{EHF}=\widehat{EFH}$ (2)

Mặt khác:

ΔHAF vuông tại F có: $\widehat{HAF}+\widehat{AHF}=90^0$

và $\widehat{EHF}+\widehat{AHF}=\widehat{AHE}=90^0$

⇒ $\widehat{HAF}=\widehat{EHF}$

Hay $\widehat{MAF}=\widehat{EHF}$ (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra: $\widehat{MFA}=\widehat{EFH}$

Ta có: $\widehat{MFA}+\widehat{MFH}=90^0$

⇒ $\widehat{EFH}+\widehat{MFH}=90^0$

⇒ $\widehat{EFG}=90^0$

ΔEFG vuông tại F có: $GE^2=GF^2+FE^2$

3/ Ta có: N, M lần lượt là trung điểm BH và AH

⇒ MN là đường trung bình ΔAHB

⇒ $MN // AB$

Mà $AC ⊥ AB$ nên $MN ⊥ AB$

ΔANC có: $NM ⊥ AB$ và $AH ⊥ NC$

⇒ NM và AH là các đường cao của ΔANC

Có M là giao điểm của 2 đường cao NM và AH

nên M là trực tâm ΔANC

⇒ $CM ⊥ AN$

4/ Ta có: I, E lần lượt là trung điểm của MH và HC

⇒ IE là đường trung bình ΔHMC

⇒ $IE // MC$

Mà $MC ⊥ AN$ (câu 3)

nên $IE ⊥ AN$

ΔANE có AH và EI là các đường cao

Chúng cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ΔANE

Chúc bạn học tốt !!!