Đáp án:

 \(\dfrac{2\sqrt{21}}{7}a\)

Giải thích các bước giải:

 Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\)

\(CM \perp AB\) (Do \(\Delta ABC\) là tam giác đều)

Từ \(H\) kẻ \(HN//CM\) 

\(\Rightarrow HN \perp AB\) (Do \(CM \perp AB\))

Ta có: $\begin{cases}AB \perp HN\\AB \perp SH\end{cases}$

\(\Rightarrow AB \perp (SHN)\)

Từ \(H\) kẻ \(HK \perp SN\)

Ta có:

$\begin{cases}HK \perp SN\\HK \perp AB\end{cases}$

\(\Rightarrow HK \perp (SAB)\)

\(\Rightarrow HK=d(H;(SAB))\) 

Ta có: \(MC=\sqrt{9a^{2}-(\dfrac{3}{2}a)^{2}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a\)

Theo định lí Ta-let: 

\(\dfrac{HN}{MC}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{2a}{3a}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow HN=\dfrac{2}{3}.MC=\sqrt{3}a\)

Xét \(\Delta SHN\) vuông tại \(H\):

Ta có: \(\dfrac{1}{HK^{2}}=\dfrac{1}{SH^{2}}+\dfrac{1}{HN^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{HK^{2}}=\dfrac{1}{4a^{2}}+\dfrac{1}{3a^{2}}\)

\(\Rightarrow HK=\dfrac{2\sqrt{21}}{7}a\)

Từ $H$ kẻ $HK⊥AB$, $HE⊥SK$, ta có:

$AB⊥HK, AB⊥SH → AB⊥(SHK) → AB⊥HE$

Mà $HE⊥SK → HE⊥(SAB)$ hay $d(H,(SAB))=HE$

Gọi $M$ là chân đường cao hạ từ $C$ xuống cạnh $AB$, ta có:

$HK=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3a\sqrt[]{3}}{2}=\sqrt[]{3}$

$→ HE=\dfrac{SH.HK}{\sqrt[]{SH^2+HK^2}}=\dfrac{2\sqrt[]{21}}{7}$