Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta MNF,\Delta HNF$ có:

$\widehat{NMF}=\widehat{NHF}=90^o$

Chung cạnh $NF$ 

$\widehat{MNF}=\widehat{FNH}$ vì $NF$ là phân giác $\widehat{MNH}$

$\to \Delta MNF=\Delta HNF$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to FM=FH$

b.Từ câu a $\to NM=NH$

$\to N\in$ trung trực của $MH$

Mà $FM=FH\to F\in$ trung trực của $MH$

$\to NF$ là trung trực của $MH$

c.Ta có: $\widehat{IMF}=\widehat{FHE}=90^o, FM=FH,\widehat{IFM}=\widehat{HFE}$

$\to\Delta MFI=\Delta HFE(g.c.g)$

$\to FI=FE$

Mà $\Delta FMI$ vuông tại $M\to FM<FI\to FE<FI$

a) Xét $ΔMNF$ và $ΔHNF$:

$\widehat{MNF}=\widehat{HNF}$ ($NF$ là phân giác $\widehat{N}$)

$NF:chung$

$\widehat{NMF}=\widehat{NHF}=90^o$

$⇒ΔMNF=ΔHNF(CH-GN)$

$⇒FM=FH$ (2 cạnh tương ứng)

b) $ΔMNF=ΔHNF$

$⇒NM=NH$ (2 cạnh tương ứng)

$⇒ΔMNH$ cân tại $N$

mà $NF$ là phân giác $\widehat{N}$

$⇒NF$ là trung trực $MH$ (tính chất các đường đồng quy Δ cân)

c) Xét $ΔMFI$ và $ΔHFE$:

$FM=FH(cmt)$

$\widehat{MFI}=\widehat{HFE}$ (đối đỉnh)

$\widehat{IMF}=\widehat{EHF}=90^o$

$⇒ΔMFI=ΔHFE(g-c-g)$

$⇒FI=FE$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $ΔHFE$ vuông tại $H$: 

$HF<FE(CGV<CH)$

mà $FM=FH$

$⇒FM<FE$