Giải thích các bước giải:

1.Với $m=1\to y=x^3-6x^2+9x-1$

$\to y'=3x^2-12x+9$

$\to y'\ge 0$

$\to 3x^2-12x+9\ge 0$

$\to x^2-4x+3\ge 0$

$\to (x-1)(x-3)\ge 0$

$\to x\ge 3$ hoặc $x\le 1$

$\to $Hàm số đồng biến khi $x\in[3,+\infty)\cup (-\infty,1],$ nghịch biến khi $x\in(1,3)$

Ta có $y'=0\to x\in\{1,3\}\to (1,3) , (3,-1)$ là cực trị của hàm số

$\to$ Vẽ đồ thị hàm số 

b.Ta có:

$y'=3x^2-6(m+1)x+9$

$\to y'=0$

$\to 3x^2-6(m+1)x+9=0$

$\to x^2-2(m+1)x+3=0(*)$

$\to $Để hàm số có đạt cực trị tại $x_1,x_2$

$\to (*)$ có $2$ nghiệm phân biệt

$\to \Delta'=(m+1)^2-3>0\to m>\sqrt{3}-1$ hoặc $m<-\sqrt{3}-1$

Khi đó phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn:

$\begin{cases} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=3\end{cases}$

Mà $|x_1-x_2|\le 2$

$\to (|x_1-x_2|)^2\le 4$

$\to (x_1-x_2)^2\le 4$

$\to (x_1+x_2)^2-2x_1x_2\le 4$

$\to 4(m+1)^2-2\cdot 3\le 4$

$\to -\sqrt{\dfrac{5}{2}}-1\le \:m\le \sqrt{\dfrac{5}{2}}-1$

Kết hợp điều kiện có nghiệm của phương trình

$\to $Không tồn tại $m$ thỏa mãn đề