Đáp án:

$m < - \dfrac{3}{2}$

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (2m + 3)x - 5$

$TXĐ: D = R$

$y' = x^2 - 2mx + 2m + 3$

$+)$ Hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow m^2 - 2m -3 > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > 3\\m < -1\end{array}\right.$

$+)$ Hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

$\Leftrightarrow y'$ có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

$\Leftrightarrow x_{CĐ}.x_{CT} < 0$

$\Leftrightarrow 2m + 3 < 0$

$\Leftrightarrow m < - \dfrac{3}{2}$

$\\$

Hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

$\Leftrightarrow y'$ có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{y'}' > 0\\x_{CĐ}.x_{CT} > 0\end{cases}$

Đáp án: `m < -3/2`

Giải thích các bước giải:

$\text{ Ta có TXĐ: D = R }$

`+)` `y^' = (1/3x^3-mx^2+(2m+3)x-5)^'=x^2-2mx+(2m+3)`

Để hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

`=> y^'` $\text{ có 2 nghiệm phân biệt trái dấu}$

`=> ac < 0`

`<=> 1.(2m+3) < 0`

`<=> m < -3/2`

---------------------------------------

$\text{ p/s: điều kiện để có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung:}$

$\text{ ac < 0 (không cần thiết xét đenta vì khi ac < 0 thì đenta sẽ tự động > 0)}$

$\text{điều kiện để có hai điểm cực trị nằm về bên phải phía của trục tung}$

$\Large\left \{ {{-b/a>0} \atop {c/a>0}} \right.$ 

$\text{điều kiện để có hai điểm cực trị nằm về bên trái phía của trục tung}$

$\Large\left \{ {{-b/a<0} \atop {c/a>0}} \right.$