Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Trên tia đối của tia $DC$ lấy $K$ sao cho $DK = HG (1)$

Dễ thấy $Δ$ vuông $AHF = Δ$ vuông $ADF ⇒ FD = FH =x (2)$

Từ $(1); (2) ⇒ FD + DK = FH + HG ⇔ FK = FG (*)$

$Δ$ vuông $AHF = Δ$ vuông $ADF ⇒ ∠AFD = ∠AFH (**)$

Từ $(*); (**) ⇒ ΔAFK = AFG $ ( chung $AF$) ⇒ AK = AG$

Mà $AD = AB = a ⇒ Δ$ vuông $ADK = Δ$ vuông $ABG$

$ ⇒ DK = BG ⇔ HG = BG = y (3)$

Từ $(2); (3) ⇒ FG = FH + HG = x + y$

Ta có $ FG² = FC² + CG² ⇔ (x + y)² = (a - x)² + (a - y)²$

$ ⇔ (x + y)² = x² + y² + 2a² - 2a(x + y) $

$ ⇔ 2(x + y)² = 2(x² + y²) + 4a² - 4a(x + y) $

$ ≥ (x + y)² + 4a² - 4a(x + y) $

$ ⇔ (x + y)² + 4a(x + y) + 4a² ≥ 8a²$

$ ⇔ (x + y + 2a)² ≥ 8a² ⇒ x + y + 2a ≥ 2a\sqrt[]{2}$ 

$ ⇒ FG = x + y ≥ 2a(\sqrt[]{2} - 1)$

$ ⇒ S_{AFG} = \dfrac{1}{2}AH.FG ≥ a²(\sqrt[]{2} - 1)$ 

$ MinS_{AFG} = a²(\sqrt[]{2} - 1) ⇔ x = y = a(\sqrt[]{2} - 1)$ 

Vậy $ DF = x = a\sqrt[]{2} - a = AC - AD $ xác định

 

bạn tham khảo