Đáp án:

$B. \, \dfrac{\sqrt{11}a^3}{6}$

Giải thích các bước giải:

Xét tứ diện $D.ABC$

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy $ABC$

$\Rightarrow OA = OB = OC = R$

Ta lại có: $DA = DB = DC = 2a$

$\Rightarrow DO\perp (ABC)$

Gọi $M$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow MA = MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}$

$\Rightarrow BM\perp AC$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$AB^2= AM^2 + BM^2$

$\Rightarrow BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AC.BM = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}$

Mặt khác ta có:

$\dfrac{AB}{\sin C} = 2R = 2OA$

$\Rightarrow OA = \dfrac{AB}{2\sin C} = \dfrac{AB}{2.\dfrac{BM}{BC}} = \dfrac{4a\sqrt{15}}{15}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$DA^2 = OA^2 + DO^2$

$\Rightarrow DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} = \dfrac{2a\sqrt{165}}{15}$

Ta được:

$V_{D.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.DO = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}\cdot\dfrac{2a\sqrt{165}}{15} = \dfrac{a^3\sqrt{11}}{6}$