Giải thích các bước giải:

a,

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall x,y\\
 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\,\forall x,y\\
 \Leftrightarrow 2.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {x^2} + 2xy + {y^2},\,\,\,\,\forall x,y\\
 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right),\,\,\,\,\,\forall x,y
\end{array}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\)

ĐKXĐ:  \( - \sqrt 2  \le x \le \sqrt 2 \)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {x + \sqrt {2 - {x^2}} } \right)^2} \le 2.\left( {{x^2} + \left( {2 - {x^2}} \right)} \right) = 2.2 = 4\\
 \Rightarrow x + \sqrt {2 - {x^2}}  \le 2\\
4{y^2} + 4y + 3 = \left( {4{y^2} + 4y + 1} \right) + 2 = {\left( {2y + 1} \right)^2} + 2 \ge 2,\,\,\,\forall y\\
 \Rightarrow x + \sqrt {2 - {x^2}}  \le 2 \le {\left( {2y + 1} \right)^2} + 2
\end{array}\)

Từ giả thiết suy ra các dấu '=' ở trên phải xảy ra

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt {2 - {x^2}} \\
{\left( {2y + 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

b,

\(\begin{array}{l}
\sqrt {3{x^2} + 6x + 12}  + \sqrt {5{x^4} - 10{x^2} + 9}  = 3 - 4x - 2{x^2}\\
 \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} + 6x + 12}  + \sqrt {5{x^4} - 10{x^2} + 9}  + 2{x^2} + 4x - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt {3.\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 9}  + \sqrt {5\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) + 4}  + 2.\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt {3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {5{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} + 4}  + 2.{\left( {x + 1} \right)^2} = 5\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\sqrt {3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {5{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} + 4}  + 2.{\left( {x + 1} \right)^2} \ge \sqrt 9  + \sqrt 4  + 0 = 5\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\
{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1
\end{array}\)