Đáp án:

$1)\, minA = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{5 \pm \sqrt5}{2}$

$2) \, \overline{ab} = 27$

Giải thích các bước giải:

1) $A = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

$=[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]$

$=(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6)$

Đặt $t = x^2 - 5x + 4$ ta được:

$A = t(t + 2)$

$= t^2 + 2t$

$=t^2 + 2t + 1 - 1$

$= (t+1)^2 - 1$

Ta có:

$(t + 1)^2 \geq 0, \, \forall t$

$\Leftrightarrow (t+1)^2 - 1\geq -1$

Hay $A \geq -1$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow t + 1 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 5x + 5 = 0$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{5 \pm \sqrt5}{2}$

Vậy $minA = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{5 \pm \sqrt5}{2}$

2) Gọi $\overline{ab}$ là số có 2 chữ số thỏa mãn đề bài

Ta được: 

$\begin{cases} \overline{ab} = m^3\\a + b = m^2\end{cases}\quad (m \in \Bbb N^*)$

$\Rightarrow a + b$ là một số chính phương

Ta lại có:

$a \leq 9$

$b \leq 9$

$\Rightarrow a + b \leq 18$

$\Rightarrow a + b = \left\{1;4;9;16\right\}$ $(*)$

Mặt khác:

$\overline{ab}$ là lập phương của một số tự nhiên

$\Rightarrow \overline{ab} = \left\{27;64\right\}$

$+)$ Với $\overline{ab} = 27 \Rightarrow a + b = 9 \quad (thỏa \,\,(*))$

$+)$ Với $\overline{ab} = 64 \Rightarrow a + b = 10 \quad (không\,\,thỏa\,\,(*))$

Vậy $\overline{ab} = 27$