Đáp án:

Ta có

`A= n^2(n + 1) + (n+1)(n+2)+(n+2)(n-3) +4`

` = n^3 + n^2 + n^2 + n + 2n + 2 + n^2 + 2n - 3n - 6 + 4`

` = n^3 + 3n^2 + 2n`

` = n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n`

` = n^2(n + 1) + 2n(n + 1)`

` = (n+1)(n^2 + 2n)`

` = n(n+1)(n + 2)`

Do `n; n + 1 ;n + 2` là 3 Số nguyên liên tiếp

 => 1 trong 3 số `n ; n + 1 ; n + 2` chia hết cho 3 (1)

` => n(n+1)(n+2)` chia hết cho 3

Do `n;n+1` là 2 số nguyên liên tiếp

=> 1 trong 2 số là số chẵn

` => n(n+1)` chia hết cho 2 (2)

Từ (1) và (2) 

` => n(n+1)(n+2)` chia hết cho 6

` => đpcm`

Giải thích các bước giải:

 

Ta có

$A = n^2(n+1) + (n+1)(n+2) + (n+2)(n-3) + 4$

$= n^3 + n^2 + n^2 + 2n + n + 2 + n^2 - 3n + 2n - 6 + 4$

$= n^3 +3n^2 +2n$

$= n(n^2 + 3n + 2)$

$= n[(n^2 + n) + (2n + 2)]$

$= n[n(n+1) + 2(n+1)]$

$= n(n+1)(n+2)$

Ta thấy $A$ là tích của 3 số nguyên liên tiếp, mà trong 3 số nguyên liên tiếp chắc chắn có một số chẵn và một số chia hết cho $3$. Do đó tích trên chia hết cho $6$.

Vậy $A$ chia hết cho $6$.