Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $ABCD$ là hình vuông

$\to \widehat{DBC}=45^o$

$\to \widehat{QBM}=45^o$

$\to \widehat{QBM}=\widehat{MAN}=\widehat{QAP}$

Mà $\widehat{BQM}=\widehat{AQP}$

$\to\Delta BQM\sim\Delta AQP(g.g)$

$\to \dfrac{BQ}{AQ}=\dfrac{QM}{QP}$

Mà $\widehat{AQB}=\widehat{PQM}$

$\to\Delta AQB\sim\Delta PQM(c.g.c)$

b.Từ câu a $\to \widehat{QMP}=\widehat{ABQ}=\widehat{ABD}=45^o$

$\to \widehat{AMP}=45^o=\widehat{MAN}=\widehat{MAP}$

$\to \Delta APM$ vuông cân tại $P$

$\to MP\perp AN$

Tương tự chứng minh được $NQ\perp AM$

c.Xét $\Delta AQN,\Delta APM$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AQN}=\widehat{APM}(=90^o)$

$\to\Delta AQN\sim\Delta APM(g.g)$

$\to\dfrac{AQ}{AP}=\dfrac{AN}{AM}$

$\to\dfrac{AQ}{AN}=\dfrac{AP}{AM}$

Mà $\widehat{PAQ}=\widehat{MAN}$

$\to\Delta APQ\sim\Delta AMN(g.g)$

$\to\dfrac{S_{APQ}}{S_{AMN}}=(\dfrac{AP}{AM})^2=\dfrac12$ vì $\Delta APM$ vuông cân tại $P$